項(xiàng)目名稱： 非線性偏微分方程的自適應(yīng)與多尺度計(jì)算方法

推薦單位： 北京市

項(xiàng)目簡(jiǎn)介： 本項(xiàng)目屬計(jì)算數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。

偏微分方程的自適應(yīng)計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)和科學(xué)計(jì)算的重要研究領(lǐng)域。自適應(yīng)有限元方法根據(jù)有限元后驗(yàn)誤差估計(jì)自動(dòng)調(diào)整網(wǎng)格，是一類具有最優(yōu)計(jì)算復(fù)雜性的計(jì)算方法，具有重要的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值。1995年以來陳志明在超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型、波的散射問題、非飽和水流問題的后驗(yàn)誤差分析和自適應(yīng)方法的系統(tǒng)研究中取得多項(xiàng)國(guó)際領(lǐng)先成果。2001年針對(duì)Ginzburg -Landau超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，引入了非線性偏微分方程組有限元后驗(yàn)誤差分析對(duì)偶論證的新方法，被Hoffmann和Tang在2003年出版的專著中全文引述。2003年以來提出和發(fā)展了波動(dòng)散射問題的自適應(yīng)PML（Perfectly Matched Layer完全匹配層）方法，2006年發(fā)表了非線性對(duì)流擴(kuò)散問題自適應(yīng)計(jì)算的創(chuàng)新性工作，后二項(xiàng)工作是陳志明2006年在西班牙舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上所作45分鐘邀請(qǐng)報(bào)告的主題。

非均勻多孔介質(zhì)中流動(dòng)問題在油藏模擬、環(huán)境科學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，這類問題計(jì)算的本質(zhì)困難在于地質(zhì)構(gòu)造的非均勻多尺度性。1999年以來陳志明從研究偏微分方程解的多尺度性質(zhì)的數(shù)學(xué)刻畫入手，在保持質(zhì)量守恒的多尺度混合有限元方法、處理機(jī)井奇性問題的多尺度計(jì)算方法、非線性對(duì)流擴(kuò)散方程的尺度提升方法等問題的研究中取得多個(gè)原創(chuàng)性成果。2003年關(guān)于多尺度混合有限元方法的開創(chuàng)性工作在工程界得到廣泛重視，單篇被SCI他人引用37次。2004年提出的處理機(jī)井奇性的多尺度計(jì)算方法，在工程界得到很高評(píng)價(jià)，被認(rèn)為是油藏模擬機(jī)井的數(shù)學(xué)嚴(yán)格處理上的先驅(qū)性（pioneering）工作。

本項(xiàng)目發(fā)表學(xué)術(shù)論文40篇，其中被SCI收錄35篇，按 SCI被他人引用276次。陳志明 2000年入選中國(guó)科學(xué)院"百人計(jì)劃"，2000年獲國(guó)家杰出青年基金，2001年獲馮康科學(xué)計(jì)算獎(jiǎng)。2005年，2007年分別獲選為計(jì)算數(shù)學(xué)國(guó)際著名期刊美國(guó)SIAM Journal on Numerical Analysis和Mathematics of Computation的編委。2006年在西班牙舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做45分鐘邀請(qǐng)報(bào)告。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)： 1.核心發(fā)現(xiàn)點(diǎn):

1) 提出并發(fā)展了波動(dòng)散射問題的自適應(yīng)PML方法

2003年針對(duì)光柵問題，首次提出了自適應(yīng)PML(Perfectly Matched Layer完全匹配層)方法,該方法克服了傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)性方法的缺點(diǎn)，利用嚴(yán)格的后驗(yàn)誤差估計(jì)來確定PML層的厚度和PML吸收系數(shù)，利用網(wǎng)格自適應(yīng)方法來求解PML方程，因此對(duì)PML層的厚度選取不敏感，且具有最優(yōu)計(jì)算復(fù)雜性。2005年建立了Helmholtz方程散射問題的自適應(yīng)PML方法，發(fā)現(xiàn)并證明了第一類Hankel函數(shù)在上半復(fù)平面的一致指數(shù)衰減性，構(gòu)成了進(jìn)一步電磁散射問題自適應(yīng)PML方法的基礎(chǔ)(論文[2]，[5])。（所屬學(xué)科：偏微分方程數(shù)值解）

2) 建立非線性對(duì)流擴(kuò)散問題的L^1后驗(yàn)誤差估計(jì)，構(gòu)造出具有最優(yōu)復(fù)雜性的自適應(yīng)方法

2006年針對(duì)非飽和水流問題，發(fā)表了非線性對(duì)流擴(kuò)散問題后驗(yàn)誤差分析的創(chuàng)新性工作。該工作利用"邊界層序列"技巧，首次將非線性守恒律方程著名的Kruzkov技巧推廣到帶有邊界條件的雙曲拋物耦合的非線性方程上，成功地得到豐滿的L^1后驗(yàn)誤差估計(jì)�；�于后驗(yàn)誤差估計(jì)，構(gòu)造了一個(gè)具有最優(yōu)計(jì)算復(fù)雜性的自適應(yīng)線方法（AML） 。雖然自適應(yīng)方法求解橢圓問題的最優(yōu)計(jì)算復(fù)雜性早已為人熟知，但是AML方法對(duì)于發(fā)展方程的最優(yōu)性卻是本項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)的，它的發(fā)現(xiàn)具有重要的科學(xué)意義（論文[3]）。（所屬學(xué)科：偏微分方程數(shù)值解）

3) 提出保持質(zhì)量守恒的多尺度混合有限元方法

在2003年發(fā)表的開創(chuàng)性論文中，提出了多尺度混合有限元方法，該方法改進(jìn)了多尺度有限元方法不保證質(zhì)量守恒的缺點(diǎn)，更加適合于非均勻介質(zhì)中流動(dòng)問題的數(shù)值模擬。新方法被成功地應(yīng)用于油藏模擬單相流問題的數(shù)值模擬，利用新方法僅用4000余個(gè)網(wǎng)格單元就可以得到與傳統(tǒng)方法用一百多萬個(gè)網(wǎng)格單元相同的計(jì)算結(jié)果，效率提高10倍以上（論文[1]）。（所屬學(xué)科：偏微分方程數(shù)值解）

2.重要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

4) 提出處理機(jī)井奇性的多尺度計(jì)算方法

2003年首次建立了在工程界著名的Peaceman機(jī)井模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將其改造使之適用于任意有限元網(wǎng)格和非均勻介質(zhì)。通過引進(jìn)針對(duì)機(jī)井奇性的新的有限元基函數(shù)，提出了處理機(jī)井奇性的高效多尺度計(jì)算方法，針對(duì)局部周期的介質(zhì)得到了最優(yōu)誤差估計(jì)，對(duì)非均勻多孔介質(zhì)進(jìn)行了成功的數(shù)值模擬（論文[4]）。（所屬學(xué)科：偏微分方程數(shù)值解）

主要完成人： 陳志明

代表作[1]-[8]主要學(xué)術(shù)思想的提出者，對(duì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)(1)-(4)作出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn)：提出并發(fā)展了波動(dòng)散射問題的自適應(yīng)PML方法；建立了非線性對(duì)流擴(kuò)散問題的L^1后驗(yàn)誤差估計(jì)，構(gòu)造了具有最優(yōu)復(fù)雜性的自適應(yīng)方法；提出了保持質(zhì)量守恒的多尺度混合有限元方法；提出了處理機(jī)井奇性的多尺度計(jì)算方法等。旁證材料見代表性論文[1]-[8]，重要論文[9]-[18]和附件證明材料。本人在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的85%。