項目名稱： 非線性系統(tǒng)的分離變量法和對稱性及其應用研究

推薦單位： 寧波市

項目簡介：

所屬科學領域:非線性科學、物理、數學、氣象等交叉領域。

科學研究背景：非線性方程求解對各自然科學領域、工程和災害性天氣氣候預報有著至關重要的意義。自上世紀中葉非線性傅立葉變換法(反散射法)成功用于求解非線性問題之后，在非線性系統(tǒng)的求解方面尚無重大的進展。針對將分離變量法和對稱性研究用于非線性方程求解時的難題，該項目開展了深入和系統(tǒng)的研究，力求尋找大量實際非線性問題嚴格求解的新方法，克服傳統(tǒng)李群理論在復雜非線性問題研究中的各種困難，實現在理論和實際應用中的突破。

主要科學發(fā)現：創(chuàng)立了多線性分離變量法等非線性分離變量法，提出和建立了兩種連續(xù)群直接法、形式級數對稱法、逆強對稱方法等新對稱性研究方法。多線性分離變量法的創(chuàng)立解決了非線性系統(tǒng)不能用分離變量法求解的問題并導致了大量新的非線性局域激發(fā)和相互作用模式的首次發(fā)現。低維可積系統(tǒng)得到了廣泛成功的應用而實際四維時空中的可積系統(tǒng)卻極其稀有，本項目中利用對稱性研究提出的新意義下可積性開辟了高維可積模型研究的新途徑。自然災害對人類世界的影響日趨嚴重，本項目首次將新對稱群理論和方法及孤子理論方法成功應用于臺風研究。

同行引用評價：本項目十篇代表性論文被SCI系統(tǒng)雜志他引853篇次；所提供50篇論文被SCI系統(tǒng)雜志論文正面他引2020篇次，其中有關多線性分離變量法的相關論文他引逾一千篇次；日本同行稱同時具有共形不變性和Painleve性質意義下的可積性為”樓“意義下的可積性；意大利同行稱對稱性約化直接法的基本假設為Clarkson-Kruskal(-Lou)假設，相應于特征不變量的約化為Lou Case；國際同行在Nature.China撰文作為研究亮點(Research Highlights)高度評價了本項目在分離變量法方面的研究工作和對稱性及其在臺風研究應用方面的工作。

主要發(fā)現點： 核心發(fā)現點:

1.多線性分離變量法的創(chuàng)立：非線性傅立葉變換法的發(fā)現導致了現代非線性科學的迅猛發(fā)展，但如何在非線性科學中建立分離變量法成為國際公認的難題。本項目中多線性分離變量法的成功創(chuàng)立導致了許多非線性系統(tǒng)的同時求解及適合于所有多線性分離變量可解模型的普適公式的發(fā)現，進而導致了大量可描述實際物理問題的新局域激發(fā)模式及各種激發(fā)之間的新相互作用模式的發(fā)現(數學物理，論文1-5,11,17-32)。

2.新對稱性研究方法的突破：百余年來對稱性研究對科學發(fā)展起了至關重要的作用而在對稱基礎研究方面被誤認為已無重要問題，遇到了進展困難的瓶頸。本項目在非線性系統(tǒng)對稱研究方面的突破使得古老的對稱研究方法展現新的活力：傳統(tǒng)的先研究李代數再研究李群的方法對復雜的非線性系統(tǒng)難于實現，一般連續(xù)對稱群的直接方法的建立既大大簡化了傳統(tǒng)的復雜的對稱群計算，也可得到比傳統(tǒng)方法更多的新結果；逆強對稱方法的建立開辟了逆對稱和負可積梯隊研究的新方向；形式級數對稱法的建立統(tǒng)一簡便地解決了高維可積非線性系統(tǒng)的對稱問題并導致了廣義W無窮對稱代數的發(fā)現(數學物理，論文6-8,15,16,39-50)。

3.孤子理論在臺風研究中的成功應用：自然災害對人類社會的影響日益嚴重，本項目將新對稱理論和孤子理論應用于臺風等災害性問題，用Euler方程的嚴格解成功描述了颶風Katrina2005的一些基本性質，滿意地預報了臺風珍珠2006的行進路徑。國際專家在Nature.China上撰文作為研究亮點(Research Highlights)高度評價了這方面的工作：”...象熱帶風暴這樣的自然災害問題是一個熱門課題...，樓森岳及其合作者利用歐拉方程的新解，刻畫了颶風Katrina...,這些理論值與颶風的衛(wèi)星圖象觀測相符…"(大氣動力學、氣象、論文 10-13)。

重要發(fā)現點:

1.新意義下可積性的提出和直接約化法的深化： 本項目利用對稱性提出了一些新意義下的可積性，如提出的同時具有解空間的共形不變性和Painleve性質意義下的 (日本學者稱為"樓"意義下的) 可積性，為解決高維可積模型這一國際難題提供了一些新途徑；CK直接約化方法的完善和深化使得許多非線性系統(tǒng)的所有經典李群約化和非經典李群約化以及更多的一般條件對稱約化可以方便地得到，意大利學者稱該方法的基本假設為Clarkson-Kruskal(-Lou)假設，與特征群不變量相關的約化為Lou Case (數學物理，論文 9,6,11,14,33-39)。

2.其它非線性分離變量法的發(fā)展：利用一般條件對稱建立了導數相關泛函分離變量法并對非線性擴散型、KdV型和波動型方程進行了完整歸類；將僅適用于可積系統(tǒng)的非線性化方法推廣成也適用于不可積系統(tǒng)的形式分離變量法，并用來約化高維系統(tǒng) (數學物理，論文11,40,41)。

主要完成人： 樓森岳

對3點核心發(fā)現點和兩點重要發(fā)現點所有內容的基本思想、設計、計算等作出了主要的創(chuàng)造性貢獻。在整個項目執(zhí)行和科研方向把握上作出關鍵的科研領導工作。10篇主要論文成果[2，6，7，9]的全部。[3，4，8]的主體和其它論文的一部分。投入該項目的工作量占本人工作量的60％。

唐曉艷

對核心發(fā)現點的1、2點和重要發(fā)現點的第1點起了非常重要的作用對核心發(fā)現點的第3點和重要發(fā)現點第2點起了重要作用。特別在多線性分離變量法的大范圍應用，條件對稱約化的得到和KMV對稱代數的分類方法的研究中起了關鍵的作用。主要文獻[1，5]起了非常主要的作用。投入該項目的工作量占本人工作量的80％。

陳春麗

對核心發(fā)現點的1、2點和重要發(fā)現點的第1點有重要貢獻， 其它發(fā)現點有貢獻。特別是對M+N分量的AKNS系統(tǒng)的多線性分離變量研究、對稱性研究、Painleve性質的研究及將理論在流體中的應用起了很重要的作用。主要論文[4]被同行廣泛引用。投入該項目的工作量占本人工作量的60％。

阮航宇

對核心發(fā)現點的1、2點和重要發(fā)現點的第1點有重要貢獻， 其它發(fā)現點也有貢獻。特別是在對稱性約化的高維推廣，在具有共形不變性的高維模型的探索和多線性分離變量法的應用研究方面有特殊的建樹。主要文獻[3]被引用100余次。投入該項目的工作量占本人工作量的60％。

賈曼

對核心發(fā)現點的第3點內容有很重要貢獻，對其它發(fā)現點有貢獻。特別在將對稱性應用于自然災害等實際物理問題的研究中起了很重要的作用。工作主體體現于代表性論文[10]。投入該項目的工作量占本人工作量的70％。