項(xiàng)目簡(jiǎn)介：  

本項(xiàng)目屬群表示論、李群和李代數(shù)領(lǐng)域。在這些領(lǐng)域中，卡茲但－路茲梯格（Kazhdan-Lusztig）理論極其重要。它導(dǎo)致了很多重要問題的解決，又開創(chuàng)了很多意義重大的研究方向。本項(xiàng)目系統(tǒng)研究了卡茲但－路茲梯格理論中的一些基本和重要的問題：路茲梯格關(guān)于仿射外爾群的雙邊胞腔的基環(huán)的猜想，德林那－郎蘭之（Deligne-Langlands）關(guān)于仿射赫克代數(shù)的猜想，雙邊胞腔的性質(zhì)，卡茲但－路茲梯格多項(xiàng)式的性質(zhì)等。

本項(xiàng)目主要的成果有：

（１） 對(duì)仿射A型外爾群證明了路茲梯格關(guān)于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想。此工作被美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)以專著形式發(fā)表：《An-1型仿射外爾群的雙邊胞腔的基環(huán)》, Mem. Amer. Math. Soc., No. 749, 2002。路茲梯格在個(gè)人網(wǎng)頁中提到這項(xiàng)工作，其網(wǎng)頁僅提到二十項(xiàng)他人（很多是世界一流數(shù)學(xué)家如Arnold， Atiyah，Bott，Gromov，Hirzebruch，Lawson，Taubes 等）有關(guān)的重要工作。世界一流數(shù)學(xué)家本茲茹卡夫尼口夫（MIT）、中島（京都大學(xué)）等人后來重新證明了這一結(jié)果。麥克格提用此結(jié)果推出量子群的結(jié)果。格林稱此結(jié)果用表代數(shù)的語言陳述是高度非凡的（highly nontrivial）。奧伯特等他人用此結(jié)果研究其它的問題。

（２）證明了除有限個(gè)例外，德林那－郎蘭之關(guān)于仿射赫克代數(shù)的猜想對(duì)單位根的情形成立，并證明了對(duì)某些單位根，該猜想需修改。 此工作由德國(guó)Springer-Verlag以專著形式發(fā)表：《仿射赫克代數(shù)的表示》，Lecture Notes in Mathematics 1587, 1994。非單位根的情形，該猜想由世界一流數(shù)學(xué)家卡茲但（哈佛）和路茲梯格（MIT）證明。專著引發(fā)了后繼研究，并被一些有影響的工作引用。

（３）與路茲梯格合作證明了仿射外爾群的每個(gè)雙邊胞腔含有唯一的典范左胞腔（Adv. in Math）。

此發(fā)現(xiàn)成為以后很多工作的基礎(chǔ)之一，在代數(shù)群、量子群和李代數(shù)中均有深入的應(yīng)用。

本項(xiàng)目的主要工作形成兩篇長(zhǎng)論文，分別由德國(guó)Springer-Verlag和美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)以專著形式發(fā)表，另發(fā)表論文八篇。SCI他引39次。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

一、 對(duì)仿射A型Weyl群證明了Lusztig關(guān)于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想。此外，對(duì)如下情形，證明了Lusztig關(guān)于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想，（a）秩２的仿射Weyl群，（b）仿射Weyl群的第二高的雙邊胞腔，（c）仿射Weyl群的最低雙邊胞腔。

仿射Weyl群的雙邊胞腔的基環(huán)的定義是組合式的。 Lusztig猜想（1989）：這個(gè)基環(huán)同構(gòu)于某些等變K群。這是一個(gè)重要的猜想。它揭示了胞腔、Kazhdan-Lusztig基、代數(shù)群的結(jié)構(gòu)和表示、K理論之間的深刻聯(lián)系。席南華因上述工作于2001年獲世界華人晨興數(shù)學(xué)銀獎(jiǎng)。

本發(fā)現(xiàn)所屬學(xué)科：群表示論和李群。相關(guān)專著和論文的序號(hào)：1（專著）、2（專著)、6。

二、 證明了：當(dāng)參數(shù)為單位根且階大于相應(yīng)的Weyl群的最大指數(shù)加一時(shí)，Deligne-Langlands關(guān)于仿射Hecke代數(shù)的不可約表示的分類的猜想成立；當(dāng)參數(shù)是相應(yīng)的龐加萊多項(xiàng)式的根時(shí)，該猜想需修改。

此猜想源于p-adic群的表示，后者在Langlands綱領(lǐng)中起著突出的作用。 (Deligne獲菲爾茲獎(jiǎng)，Langlands獲沃爾夫獎(jiǎng)。)。當(dāng)參數(shù)為非單位根時(shí)，該猜想由世界一流數(shù)學(xué)家Kazhdan（原哈佛教授，美國(guó)科學(xué)院院士）和Lusztig （MIT教授，美國(guó)科學(xué)院院士）證明(Invent. Math. 1987)。由此引起人們對(duì)單位根處情形的極大興趣。單位根處的仿射Hecke代數(shù)還與單位根處的量子群有密切聯(lián)系。　　　　

本發(fā)現(xiàn)所屬學(xué)科：群表示論、李群和李代數(shù)。相關(guān)專著和論文的序號(hào)：2（專著）、7。

(另外，席南華現(xiàn)已證明：當(dāng)參數(shù)不是相應(yīng)的龐加萊多項(xiàng)式的根時(shí)，Deligne-Langlands猜想成立。至此，該問題得到圓滿解決。相關(guān)論文發(fā)表于美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)最好的雜志：Jour. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 211-217。）

三、與Lusztig合作證明了仿射Weyl群的每個(gè)雙邊胞腔含有唯一的典范左胞腔。

典范左胞腔具有許多獨(dú)特的性質(zhì)。這個(gè)發(fā)現(xiàn)成為以后很多工作的基礎(chǔ)之一，如Lusztig關(guān)于典范左胞腔的基環(huán)的猜想和Bezrukavnikov對(duì)此猜想的證明，Humphreys把它與李代數(shù)的表示聯(lián)系起來，典范左胞腔還被V. Ostrik用于研究量子群的傾斜模范疇。

　本發(fā)現(xiàn)所屬學(xué)科：群表示論。相關(guān)論文的序號(hào)：3。

主要完成人：

1.  席南華

獨(dú)立完成主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)一和二，主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)三的主要完成人之一。在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的85％。

10篇代表性論文：

1.   The based ring of two-sided cells of affine Weyl groups of type ? n-1, / Mem. of Amer. Math. Soc. （專著）

2.   Representations of affine Hecke algebras, Lecture Notes in Mathematics 1587（專著）, Springer-Verlag

3.   Canonical left cells in affine Weyl groups (with G. Lusztig) / Adv. in Math.

4.   An approach to the connectedness of the left cells in affine Weyl groups, / Bull. London Math. Soc.

5.   Induced cells / Proc. of Amer. Math. Soc.

6.   The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, / J. Alg.

7.   The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, II / Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.

8.   A partition of the Springer fibers BN for type An-1, G2 and some applications, Indag. Mathem., N.S.

9.   On the characterization of the set D1 of the affine Weyl group of type ?n-1, / In "Representation theory of algebraic groups and quantum groups", Adv. Stud. Pure Math., 40, Math. Soc. Japan, Tokyo

10.  The leading coefficient of certain Kazhdan-Lusztig polynomials of the permutation group Sn / J. Algebra