項(xiàng)目簡介：  

本項(xiàng)目屬數(shù)學(xué)中的計(jì)算數(shù)學(xué).有限元法是科學(xué)與工程計(jì)算最重要方法之一.但解高維問題困難很大. 有限元在某些點(diǎn)精度特別高,稱超收斂性,有重要的意義. 有限元權(quán)威Babuska院士1993年紀(jì)念有限元50年國際會議總結(jié)有限元研究10大進(jìn)展,第2項(xiàng)為超收斂和重構(gòu). 國外1973年研究一維超收斂. 與外隔絕環(huán)境下本項(xiàng)目1977年計(jì)算張家界拱壩首次發(fā)現(xiàn)3維有限元超收斂性,1978年首次證明三角形線元和矩形1,2次元梯度的超收斂(后一結(jié)果獨(dú)立于Zlamal--西方有限元理論奠基人之一),是國際開拓工作. 堅(jiān)持研究30年, 揭示超收斂普遍存在,為大規(guī)模計(jì)算提供了一種有效新模式:其計(jì)算量少,與維數(shù)無關(guān). 主要創(chuàng)新點(diǎn): 1. 首次發(fā)現(xiàn)與證明多維有限元的超收斂性. 原創(chuàng)一種研究方法-單元正交分析法.提出三種單元分析技術(shù):即正交展開,合并消除和正交性修正; 2. 證明超收斂是一種深刻特性,不僅被廣泛用于高精度計(jì)算,而且也成為提出新算法和其它理論創(chuàng)新的基礎(chǔ),本項(xiàng)目對非線性方程多解計(jì)算提出搜索延拓法及用超收斂方法證明Hamilton系統(tǒng)有限元的辛性質(zhì); 3. 對各類方程和單元,首次發(fā)現(xiàn)與證明了有限元4類基本超收斂結(jié)構(gòu). 對二階橢圓算子有:Gauss-Lobatto點(diǎn)和對稱點(diǎn)(部分地).對一階方程有Lobatto點(diǎn)(對連續(xù)元)和Radau點(diǎn)(對間斷元); 4.提出了4大法則,可解決一般區(qū)域,奇異解,時-空方程和非線性等問題.因此在廣闊框架下創(chuàng)建了唯一完整的有限元超收斂理論方法體系. 本研究得到國內(nèi)外專家高度評價(jià).1996年芬蘭第1次,2000年美國第2次有限元超收斂國際會議及Babuska院士新著,都公認(rèn)當(dāng)今國際超收斂研究有三學(xué)派:中國,美國Ithaca (Wahlbin等)和Texas(Babuska等).本項(xiàng)目作了最主要貢獻(xiàn). 2004年在長沙組織第3次超收斂國際會議,進(jìn)一步增強(qiáng)了國際影響. 發(fā)表主要論文120多篇(早期是中文,只MR刊英文摘要),出版中英文專著6本.95年后被SCI收錄45篇, IE收錄36篇,ISTP收錄5篇, SCI論文引證242次; 專著"有限元高精度理論"單引超過100次,SCI36次.另Krizek報(bào)告和Wahlbin專著引用60次.

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

1. 首次發(fā)現(xiàn)和證明多維有限元的超收斂性. 國外73年研究一維超收斂.本項(xiàng)目77年計(jì)算湖南張家界拱壩時首次發(fā)現(xiàn)多維有限元超收斂現(xiàn)象. 78年首次證明三角形1次元平均梯度在對稱點(diǎn)和矩形1,2次元梯度在Gauss點(diǎn)的超收斂(后一結(jié)果獨(dú)立于捷克M.Zlamal--西方有限元理奠基人之一). 原創(chuàng)一種研究超收斂的方法-單元正交分析法.其新思想是發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生超收斂的一種重要機(jī)理,例如當(dāng)網(wǎng)格幾乎均勻時,有限元在單元上近似A-正交.因此研究可從一個單元開始. 為此提出了三種單元分析技術(shù):即正交展開,合并消除和正交性修正. 第三種新技術(shù)為1997年后作出新推進(jìn)起了決定性作用. 本項(xiàng)目證明有限元超收斂是一種內(nèi)在的深刻特性, 它不僅已廣泛用于科學(xué)與工程計(jì)算,而且它也成為提出許多新算法和其它理論創(chuàng)新的基礎(chǔ).本項(xiàng)目首次對非線性方程多解計(jì)算提出搜索延拓法及用超收斂方法證明Hamilton系統(tǒng)有限元的辛性質(zhì),作出兩項(xiàng)創(chuàng)新;因此本項(xiàng)研究從多方面促進(jìn)了計(jì)算學(xué)科的發(fā)展.(此項(xiàng)屬偏微分方程數(shù)值解,有關(guān)論著為[書1,書5,文6,文8,書10]);

2. 對各類偏微分方程和單元,首次發(fā)現(xiàn)與證明了有限元的4類基本超收斂結(jié)構(gòu).它們也是目前已知的主要結(jié)構(gòu). 80年代已發(fā)現(xiàn)對二階橢圓算子有:Gauss-Lobatto點(diǎn)和對稱點(diǎn)(部分地).97年后發(fā)現(xiàn)一階方程組有Lobatto點(diǎn)(對連續(xù)元)和Radau點(diǎn)(對間斷元),它們對時間離散也有效.因此又發(fā)現(xiàn)雙曲,拋物問題的有限元全離散有時-空雙重超收斂性. 本項(xiàng)目全面揭示超收斂是有限元的普遍特性,提出了4大法則:為解決一般區(qū)域,奇異解, 時空雙重超收斂和非線性等廣泛問題建立了依據(jù),多數(shù)結(jié)果直到邊界有效.本項(xiàng)目在廣闊框架下創(chuàng)建了唯一完整的有限元超收斂理論方法體系. 因此除加密網(wǎng)格和增高次數(shù)外,使用超收斂性為解決大規(guī)模計(jì)算提供了一種高效新模式,其計(jì)算量少,與維數(shù)無關(guān).本項(xiàng)目曾成功用于面板壩計(jì)算. (此項(xiàng)屬偏微分方程數(shù)值解,有關(guān)論著為[書2,書3,書4,文8]);

主要完成人：

1.  陳傳淼

為創(chuàng)建有限元超收斂理論方法體系,使中國學(xué)派為國際公認(rèn),作出了最主要貢獻(xiàn):

1. 首次發(fā)現(xiàn)證明多維有限元的超收斂性(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1);

2. 原創(chuàng)一種研究方法和三種分析技巧(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1);

3. 首次發(fā)現(xiàn)證明4類超收斂結(jié)構(gòu)(對稱點(diǎn)部分地)(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);

4. 提出超收斂4法則(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);

5. 首次證明H-系統(tǒng)有限元的辛性質(zhì)(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1).

本人研究本項(xiàng)目的工作量超過本人工作量的百分之八十.在10篇主要論著中有8篇單獨(dú),兩篇合作完成.

2.  黃云清

為本體系的發(fā)展,完善作了重要貢獻(xiàn):

1. 首次證明在一般區(qū)域的PC,6PC剖分及對奇異解在等級網(wǎng)格上的超收斂(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);

2. 首次用EOA證明對非正規(guī)三角形網(wǎng)格上線元的超收斂(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);;

3. 對積分微分方程提出累加格式及用能量嵌入簡化最大模估計(jì)(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);.

4. 負(fù)責(zé)計(jì)算面板堆石壩(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2);.

本人研究本項(xiàng)目的工作量超過本人工作量的百分之五十.合作完成10篇主要論著中的[專著2].

3.  謝資清

為本項(xiàng)目非線性偏微分方程多解計(jì)算的創(chuàng)新作了重要貢獻(xiàn):

1. 首次詳細(xì)研究奇與非奇非線性情形多解的計(jì)算,結(jié)構(gòu)和Morse指標(biāo),為提出搜索延拓法打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1);;

2. 首次證明插值系數(shù)有限元的收斂性和超收斂性,并用于搜索延拓法(屬發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1);.

本人研究本項(xiàng)目的工作量占本人工作量的百分之六十.合作完成10篇主要論著中的[專著10].

10篇代表性論文：  1.   有限元方法及其提高精度的分析,湖南科技出版社

2.   有限元高精度理論,湖南科技出版社

3.   有限元超收斂構(gòu)造理論,湖南科技出版社

4.   FEMs for Integrodifferential Equations. Series on Appl. Math. V.9. Singapore: World Scientific

5.   三角形線元的應(yīng)力佳點(diǎn).高校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)

6.   有限元解及其導(dǎo)數(shù)的超收斂性.高校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)

7.   W^{1,∞}-interior estimates for FEMs on regular meshes. J.Math.Comp.

8.   Superconergence for triangular FEMs. Science in China.

9.   The lumped mass FEM for a parabolic problem. J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 26

10.  非線性微分方程多解計(jì)算的搜索延拓法.科學(xué)出版社